Колебания кристаллической решётки

Колеба'ния кристалли'ческой решётки, один из основных видов внутренних движений твёрдого тела, при котором составляющие его частицы (атомы или ионы) колеблются около положений равновесия — узлов кристаллической решётки. К. к. р., например, в виде стоячих или бегущих звуковых волн возникают всякий раз, когда на кристалл действует внешняя сила, изменяющаяся со временем. Однако  и в отсутствие внешних воздействий в кристалле, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой, устанавливается стационарное состояние колебаний, подобно тому как в газе устанавливается стационарное распределение атомов или молекул по скорости их поступательного движения.

  Характер этих колебаний зависит от симметрии кристалла, числа атомов в его элементарной ячейке , типа химической связи , а также от вида и концентрации дефектов в кристаллах . Смещения и атомов в процессе колебаний тем больше, чем выше температура, но они гораздо меньше постоянной решетки вплоть до температуры плавления, когда твердое тело превращается в жидкость. Силы, которые стремятся удержать атомы в положениях равновесия, пропорциональны их относительным смещениям так, как если бы они были связаны друг с другом пружинками (рис. 1 ). Представление кристалла в виде совокупности частиц, связанных идеально упругими силами, называется гармоническим приближением.

  В кристалле, состоящем из N элементарных ячеек по n атомов в каждой, существует 3nN — 6 типов простейших колебаний в виде стоячих волн , называемых нормальными (либо собственными) колебаниями, или модами. Их число равно числу степеней свободы у совокупности частиц кристалла за вычетом трёх степеней свободы, отвечающих поступательному, и трёх — вращательному движению кристалла как целого (см. Степеней свободы число ). Числом 6 можно пренебречь, так как 3nN — величина ~ 10²² —10²³ для 1 см³ кристалла.

  В процессе нормального колебания все частицы кристалла колеблются около своих положений равновесия с одной и той же постоянной частотой w по закону u ~ sinw·t  подобно простому гармоническому осциллятору. В кристалле одновременно могут присутствовать все возможные нормальные колебания, причем каждое протекает так, как если бы остальных не было вовсе. Любое движение атомов в кристалле, не нарушающее его микроструктуры, может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний кристалла.

  Каждую стоячую волну нормального колебания можно, в свою очередь, представить в виде двух упругих плоских бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях (нормальные волны). Плоская бегущая волна, помимо частоты w, характеризуется волновым вектором k, определяющим направление движения фронта волны и длину волны l= 2 p/k, а также поляризацией, которая определяет характер индивидуального движения частиц. В общем случае имеет место эллиптическая поляризация, когда каждый атом описывает эллипс около своего положения равновесия (рис. 2 ), при этом нормаль к плоскости эллипса не совпадает по направлению с k. Эллиптические орбиты одинаковы для идентичных атомов, занимающих эквивалентные положения в решётке. В тех кристаллах, где каждый узел является центром симметрии (см. Симметрия кристаллов ), все нормальные волны плоскополяризованы: атомы в любом нормальном колебании совершают возвратно-поступательные движения около своих положений равновесия.

  Дисперсия нормальных волн. При каждом значении k существует 3n типов нормальных волн с различной поляризацией. Они нумеруются целочисленной переменной s = 1, 2... 3n и называется ветвями нормальных колебаний. Для волн данного типа s величины w и k не могут быть произвольными, а связаны между собой определённым соотношением w = w(k, s), называется законом дисперсии. Например, если представить кристалл в виде совокупности одинаковых атомов массы т, расположенных на равных расстояниях а друг от друга и связанных попарно пружинами с жёсткостью g так, что они образуют бесконечную цепочку и могут смещаться только вдоль её оси (рис. 3 , а), то элементарная ячейка состоит из одной частицы и существует одна ветвь частоты нормальных колебаний с законом дисперсии:

 

.

  У двухатомной линейной цепочки (рис. 3 , б) ячейка содержит 2 частицы с массами т и М и имеется 2 ветви с более сложным законом дисперсии (рис. 4 ):

_,

_,

, (M > m ).

  Упругие волны в кристалле всегда обладают дисперсией . В частности, их фазовая скорость, как правило, отличается от групповой, с которой по кристаллу переносится энергия колебаний. В то время как частота w упругих волн, распространяющихся в непрерывной среде, неограниченно возрастает с ростом k, в кристалле благодаря периодическому расположению атомов и конечной величине связывающих их сил существует некоторая максимальная частота колебаний w_макс (обычно ~10¹³ гц ). Собственные частоты могут не сплошь заполнять интервал от w = 0 до w = w_макс , в нём могут быть пустые участки (запрещенные зоны), разделяющие две следующие друг за другом ветви. Запрещенной зоны между соседними ветвями нет, если ветви перекрываются. Колебания, соответствующие запрещенным зонам и с частотой w > w_макс , не могут распространяться в кристалле, они быстро затухают.

  Акустическая и оптическая ветви. Три первые ветви колебаний с s = 1,2,3 называются акустическими. В случае, когда длина волны l значительно превышает наибольший из периодов пространственной решётки (k — мало), они характеризуются линейным законом дисперсии w = c ·k. Это обычные звуковые волны, а с — фазовая скорость их распространения, зависящая от направления распространения и поляризации. Они плоскополяризованы в одном из трёх взаимно перпендикулярных направлений соответственно трём значениям s = 1, 2, 3 и соответствуют колебаниям кристалла как сплошной среды. В анизотропном кристалле ни одно из этих направлений обычно не совпадает с направлением распространения волны, т. е. с k. Лишь в упругой изотропной среде звуковые волны имеют чисто продольную и чисто поперечную поляризации. Акустические ветви охватывают диапазон частот от нуля до ~ 10¹³ гц. Однако с уменьшением длины волны закон дисперсии становится более сложным.

  Для остальных 3· (n— 1) ветвей частоты смещения атомов в процессе колебаний, соответствующих большой длине волны, происходят так, что центр масс отдельной элементарной ячейки покоится. В ионных кристаллах , элементарная ячейка которых состоит из ионов противоположных знаков, движение такого типа можно возбудить переменным электрическим полем, например световой волной, с частотой, лежащей, как правило, в инфракрасной области. Поэтому эти ветви называются оптическими. Своё название акустическая ветвь получила по начальному участку (), начальный участок акустической ветви — обычный звук.

  Фононы. Каждой бегущей плоской волне с вектором k и частотой w можно поставить в соответствие совокупность движущихся квазичастиц с импульсом р =

k и энергией E = w, где  — Планка постоянная (см. Корпускулярно-волновой дуализм ). Эти квазичастицы являются квантами поля К. к. р. и называются фононами по аналогии с фотонами — квантами электромагнитного поля.