К. о. применяется с давних пор в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (на карте) с сохранением величин всех углов; примерами таких К. о. являются стереографическая проекция и Меркатора проекция . Более общая задача К. о. произвольной поверхности (или её части) на другую поверхность (или её часть) изучается в дифференциальной геометрии. Особое место занимают К. о. одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в гидро- и аэромеханике, электростатике и теории упругости. Решение многих важных задач получается без труда, когда область, для которой ставится задача, имеет достаточно простой вид (например, круг или полуплоскость). Если задача ставится для другой, более сложной области, то оказывается достаточным отобразить конформно простейшую область на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Так, например, задача об определении потока несжимаемой однородной жидкости или газа, обтекающего цилиндр с круговым сечением, решается сравнительно легко. Линии тока (т. е. линии, вдоль которых направлены скорости частиц жидкости), для этого случая, здесь представлено течение при наличии циркуляции . Если отобразить конформно внешность кругового сечения цилиндра на внешность поперечного сечения крыла самолёта (профиля крыла), то линии тока для случая круглого цилиндра перейдут, как можно показать, в линии тока при обтекании крыла. Знание отображающей функции z' = f (z) позволяет подсчитать скорость потока в любой точке, вычислить подъёмную силу крыла самолёта и т. д. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский , создавая теорию крыла самолёта.

  Не всякие области плоскости допускают К. о. друг на друга. Так, например, круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями радиусов R₁ и R₂ , где R₁ 2 , нельзя отобразить конформно на другое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r₁ и r₂ , где r₁ 2 , если R₂ /R₁ ¹r₂ /r₁ . Тем более замечательно, что любые две области, каждая из которых ограничена лишь одной кривой (односвязные области), могут быть конформно отображены друг на друга (теорема Римана). Например, любой многоугольник допускает К. о. на любой другой многоугольник, а также на полуплоскость или на круг. Здесь углы на границе, вообще говоря, изменяются, но определение К. о. и не требует их сохранения. Что касается областей, ограниченных несколькими кривыми, то такую область всегда можно отобразить конформно на область, ограниченную таким же числом параллельных между собой прямолинейных отрезков (теорема Гильберта) или окружностей (теорема Кёбе). Но размеры и взаимное расположение этих отрезков или окружностей нельзя задать произвольно.

  К. о. одной области плоскости на другую либо сохраняет направления отсчёта углов между кривыми — К. о. первого рода; либо изменяет их на противоположные — К. о, второго рода. Если к любому К. о. первого рода присоединить ещё зеркальное отражение относительно какой-либо прямой., то получится К. о. второго рода.

  Если ввести комплексные переменные z и z' в плоскостях оригинала и образа, то z', рассматриваемое при К. о. как функция от z, является или аналитической функцией (К. о. первого рода), или функцией, сопряжённой с аналитической (К. о. второго рода). Обратно: любая функция z' = f (z), аналитическая в данной области и принимающая в разных точках области разные значения [f (z₁ )¹f (z₂ ), если z₁ ¹z₂ ] (такая функция называется однолистной), отображает конформно данную область на некоторую область плоскости z'. Поэтому изучение К. о. областей плоскости сводится к изучению свойств однолистных функций.

  Всякое К. о. трёхмерных областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию инверсии и одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля). Вследствие этого К. о. трёхмерных (и вообще многомерных) областей не имеют такого большого значения и таких разнообразных приложений, как К. о. двумерных областей.

  Начало теории К. о. было заложено Л. Эйлером (1777), установившим значение функций комплексного переменного в задаче К. о. частей сферы на плоскость (построение географических карт). Изучение общей задачи К, о. одной поверхности на другую привело в 1822 К. Гаусса к развитию общей теории поверхностей. Б. Риман (1851) установил условия, при которых возможно К. о. одной области (плоскости) на другую; однако намеченное им решение удалось обосновать лишь в начале 20 в. (в трудах А. Пуанкаре и К. Каратеодори ). Исследования Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина , открывших широкое поле приложений К. о. в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории К. о. как большого раздела теории аналитических функций. В этой области существенное значение имеют теоретические труды отечественных учёных.

  Лит.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968: Коппенфельс В., Штальман Ф., Практика конформных отображений, пер. с нем., М., 1963.

  А. И. Маркушевич.

Рис. 3 к ст. Конформное отображение.

Рис. 7 к ст. Конформное отображение.

Рис. 2 к ст. Конформное отображение.

Рис. 4 к ст. Конформное отображение.

Рис. 5 к ст. Конформное отображение.

Рис. 6 к ст. Конформное отображение.

Рис. 1 к  ст. Конформное отображение.

Конформное преобразование

Конфо'рмное преобразова'ние (математическое), то же, что конформное отображение .