всегда —1 ? r ? 1. Однако практическое использование коэффициента К. в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда совместное распределение пары (X, Y) нормально или приближённо нормально (см. Нормальное распределение ); употребление r как меры зависимости между произвольными Y и Х приводит иногда к ошибочным выводам, т. к. r может равняться нулю даже тогда, когда Y строго зависит от X . Если двумерное распределение Х и Y нормально, то линии регрессии Y по Х и Х по Y суть прямые у = m_Y + b_Y (x — mx) и х = mx+ b_x (у — m_Y ), где

 и ; b_Y и b_X именуются коэффициентами регрессии, причём

.

  Так как в этом случае

Е (Y - y (x))² = s² _Y ( 1 - r² )

и

Е (Y - x (y))² = s² _X ( 1 - r² )

  то очевидно, что r (корреляционные отношения совпадают с r² полностью определяет степень концентрации распределения вблизи линий регрессии: в предельном случае r = ± 1 прямые регрессии сливаются в одну, что соответствует строгой линейной зависимости между Y и X , при r = 0 величины не коррелированы.

Корреляция между диаметрами и высотами 624 стволов северной сосны

см	м	Итого
17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
14-17	2	2	5	1											10
18-21	1	3	3	12	15	9	4								47
22-25	1	1	1	3	18	24	29	14	7						98
26-29					7	18	30	43	31	3	2				134
30-33					1	5	18	29	35	18	7	1			114
34-37						1	3	17	33	26	12	6			98
38-41							2	2	10	19	16	4			53
42-45									4	13	6	8		1	32
46-49								3	3	7	6	2	1		22
50-53									1	4	4	2	1		12
54-57										1	1	1			3
58 и более											1				1
Итого	4	6	9	16	41	57	86	108	124	91	55	24	2	1	624
Средний диаметр	18,5	18,6	17,7	20,0	22,9	25,0	27,2	30,1	32,7	38,3	40,0	41,8	49,5	43,5	31,2

При изучении связи между несколькими случайными величинами X₁ ,..., X_n пользуются множественными и частными корреляционными отношениями и коэффициентами К. (последними по-прежнему в случае линейной связи). Основной характеристикой зависимости являются коэффициенты r_ij — простые коэффициенты К. между X_i и X_j , в совокупности образующие корреляционную матрицу (r_ij ) (очевидно, r_ij = r_ji и r_kk = 1). Мерой линейной К. между X₁ и совокупностью всех остальных величин X₂ ,..., X_n служит множественный коэффициент К., равный при n = 3

.

Если предполагается, что изменение величин X₁ и X₂ определяется в какой-то мере изменением остальных величин X₃ , ..., X_n , то показателем линейной связи между X₁ и X₂ при исключении влияния X_3, ..., X_n ; является частный коэффициент К. X₁ и X₂ относительно X₃ ,..., X_n , равный в случае n= 3

Множественные и частные корреляционные отношения выражаются несколько сложнее.

  В математической статистике разработаны методы оценки упомянутых выше коэффициентов и методы проверки гипотез об их значениях, использующие их выборочные аналоги (выборочные коэффициенты К., корреляционные отношения и т. п.). См. Корреляционный анализ .

  Лит.: Дунин- Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Ван дер Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Митропольский А. К., Техника статистических вычислений, 2 изд., М., 1971.

  А. В. Прохоров.

Приближённая линия регрессии для зависимости среднего диаметра северной сосны от высоты.